در شکل های الف،ب و پ، به ترتیب، نمودارهای مکان-زمان و سرعت-زمان و شتاب-زمان برای حرکت هماهنگ ساده ای که معادله آن به صورت x=A sinwt است نشان داده شده است. همان طور که در این نمودارها دیده می شود در لحظه ی x=0 ، t=0 است. در این لحظه سرعت بیشینه و مثبت و شتاب صفر است. در لحظه ی x ،T/4 بیشینه و مثبت، سرعت صفر و شتاب بیشینه و منفی است. در لحظه ی x=0 ، T/2 ، سرعت بیشینه و منفی و شتاب صفر است. در لحظه ی x ،3T/4 بیشینه و منفی ، سرعت صفر و شتاب بیشینه و مثبت است. در لحظه ی x=0 ، T/2 ، سرعت بیشینه و مثبت و شتاب صفر است.
انرژی مکانیکی نوسانگر (دستگاه جرم - فنر) :
هرگاه فنری فشرده یا کشیده شود در آن انرژی پتانسیل ذخیره می شود. انرژی پتانسیل کشسانی فنر برابر است با:
U=kx2/2
x=y=A sin(wt+q) ÞU=kA2 sin2(wt+q)/2 ,k=mw2
و نیز انرژی جنبشی نوسانگر برابر است با:
K=mv2/2
v=Awcos(wt+q)
حال می توان انرژی مکانیکی نوسانگر را محاسبه کرد :
E=K+U=mA2w2 cos2(wt+q)0/2+mA2w2 sin2(wt+q)0/2
E=mA2w2[cos2(wt+q)0+sin2(wt+q)]0
انرژی پتانسیل و جنبشی نوسانگر وزنه - فنر با زمان تغییر می کند. در لحظه ای که نوسانگر در یک فاصله از مبدا قرار دارد بخشی از انرژی آن به صورت پتانسیل و بقیه آن به صورت انرژی جنبشی است.
تذکر(1) : انرژی مکانیکی مستقل از زمان است.
تذکر(۲) : انرژی مکانیکی با مربع دامنه و مربع بسامد است.
نوسان وزنه - فنر در راستای قایم :
حرکت هماهنگ ساده ی وزنه - فنر در راستای قایم در شکل زیر الف تا ج نشان داده شده است. در شکل الف وزنه ای به جرم m از فنر آویخته شده است و دستگاه وزنه - فنر در حالت تعادل است.در واقع، به جسم دو نیروی وزن mg (وزن جسم) رو به پایین، F=kd از طرف فنر، رو به بالا، وارد می شود.بنا به قانون دوم نیوتن و با توجه به این که جهت محور y رو به پایین انتخاب شده است می نوان نوشت:
mg-kd=0 d=mg/k
حال اگر وزنه را مطابق شکل ب قدری پایین کشیده و رها کنیم برآیند نیروهای وارد بر وزنه در لحظه ای که فاصله ی آن از O برابر y باشد برابر است با : f=mg-k(y+d)0
با جایگذاری d در این رابطه داریم:
f=mg-k(y+mg/k)0
بنابراین در این حالت نیز برآیند نیروهای وارد به وزنه متناسب با فاصله ی آن از حالت تعادل استکه مبدا (نقطه ی O ) انتخاب شده است و جهت آن خلاف جهت بردار مکان است. در نتیجه مکان وزنه ی آویخته را نیز می توان با استفاده از رابطه x=A sin(wt+q)00 به دست آورد.روابط دیگری را که در حالت نوسان افقی وزنه - فنر به دست آمد می توان برای نوسان وزنه - فنر قایم به کاربرد.
آونگ ساده :
آونگ ساده وزنه ی کوچکی است به جرم m که به یک نقطه آویخته شده است.در حالت تعادل، آونگ در امتداد قایم قرار دارد.(شکل زیر الف)
اگر وزنه را پس از خارج کرئن از حالت تعادل رها کنیم (شکل بالا ب ) حول وضع تعادلش نوسان می کند (شکل بالا پ ). در نوسان آونگ، نیروی بازگرداننده مولفه ی نیروی وزن جسم در راستای مماس بر مسیر است. اگر زاویه ی انحراف اولیه از وضع قایم (q) باشد مسیر حرکت وزنه تقریبا یک پاره خط افقی است (شکل بالا ب ) در این صورت، وزنه مانند وزنه ی متصل به فار یک حرکت هماهنگ ساده با دامنه ی کم (حرکت نوسانی کم دامنه ) انجام می دهد.
محاسبه ی دوره ی آونگ کم دامنه :½F½=mgq=mgx/l
F
همان گونه که در شکل صفحه قبل قسمت ب دیده می شود مولفه ی نیروی وزن جسم در راستای مماس بر مسیر و همواره در خلاف جهت بردار مکان است. بنابراین :
F=-mgx/l
همان طور که می بینید، نیروی بازگرداننده از قانون هوک (رابطه ی F=-kx ) پیروی می کند و حرکت آونگ ساده ی کم دامنه یک حرکت هماهنگ ساده است.
اکنون با توجه به قانون دوم نیوتن داریم:
F=ma Þ -mgx/l=ma
از رابطه ی a=-w2x و از رابطه ی بالا نتیجه می شود:
w2=g/l w=g/l
تشدید :
در قسمت های قبل دیدیم که وقتی یک نوسانگر ساده نظیر آونگ یا دستگاه وزنه - فار را از حالت تعادل خارج می کنیم و آن را برای نوسان آزاد می گذاریم، دستگاه حول وضع تعادل خود شروع به نوسان می کند. این حرکت نوسانی، نوسان طبیعی یا آزاد دستگاه نامیده می شود. بسامد (یا دوره ی) نوسان طبیعی از ویژگی های ساختاری نوسانگر است.
مثلا، بسامد آونگ ساده ی کم دامنه به طول آونگ (l) بستگی دارد. یعنی، اگر با دادن انرزی به یک آونگ دامنه ی نوسان آن را افزایش دهیم (به طوری که زاویه ی انحراف آونگ کوچک باقی بماند) بسامد نوسان های آن تغییر نمی کند، در حالی که برای تغییر بسامد، لازم است طول آونگ را تغییر دهیم.
هنگامی که نوسانگر را از حالت تعادل خارج می کنیم و آن را به نوسان درمی آوریم، به علت نیروهای اتلافی از قبیل اصطکام و مقاومت هوا، دامنه ی نوسان آن به تدریج کاهش می یابد و دستگاه پس از چند نوسان می ایستد.
این نوسان ها را نوسان میرا می نامیم. ساده ترین مثال برای نوسان میرا آونگ ساده و نیز تاب بازی در بوستان هاست.
می دانید هنگامی که تاب را به نوسان در می آوریم و آن را رها می کنیم پس از تعدادی نوسان می ایستد.ولی اگر بخواهیم تاب به نوسان خود ادامه دهد باید به آن نیرو وارد کنیم.مثلا، می توانیم، پس از یک رفت و برگشت، هنگامی که تاب می خواهد نوسان بعدی را شروع کند به آن نیرو وارد کنیم. در این حالت دوره ی وارد کردن نیرو با دوره ی نوسان تاب برابر است. با اعمال این نیرو دامنه ی نوسان افزایش می یابد و به یک مقدار بیشینه می رسد و از این پس حرکت نوسانی بدون کاهش دامنه ادامه می یابد. در این حالت نیروی اعمال شده اثر نیروهای اتلافی را خنثی می کند.
در این شکل با نوسان آونگ شماره ی 5 آونگ های 1،3و4 نیز به نوسان درمی آیند، اما پس از چند نوسان می ایستند. ولی آونگ شماره ی 2 که دوره ی آن با آونگ شماره ی 5 یکسان است، در مدت طولانی تری می ایستد. نتیجه این که:
اگر به نوسانگری یک نیروی دوره ای اعمال شود، در صورتی که بسامد نیروی اعمال شده با بسامد نوسانگر یکسان باشد، دامنه ی نوسان تا مقدار بیشینه ای افزایش می یابد، و از آن پس حرکت نوسانی بدون کاهش دامنه ادامه می یابد.در این صورت می گوییم پدیده ی تشدید رخ داده است. در صورتی هم که بسامد نیروی اعمال شده با بسامد نوسانگر برابر نیست، انرژی به نوسانگر منتقل می شود.
مثلا در شکل پایین به آونگ های 1و3و4 انرژی منتقل می شود و آن ها را به حرکت درمی آورد. ولی بیشترین انرژی در حالت تشدید به نوسانگر منتقل می شود (مانند آونگ 2)
پدیده ی تشدید ممکن است مفید یا برعکس مشکل زا باشد.مثلا در ساعت کوکی این پدیده مفید است. فنر کوک شده یک نیروی دوره ای بر رقاصک ساعت اعمال می کند که بسامد آن با بسامد نوسان رقاصک برابر است و در نتیجه تشدید رخ می دهد و باعث می شود که حرکت نوسانی رقاصک ادامه یابد. پدیده ی تشدید ممکن است اثر مخرب نیز داشته باشد و باعث تخریب ساختمان ها و تاسیسات شود. به عنوان مثال، پل تاکومانروز در سال 1940 به علت نزدیک بودن بسامدهای وزش باد با بسامد طبیعی پل در اثر تشدید تخریب شد. شکل زیز مراحل مختلف به نوسان درآمدن پل و تخریب آن را نشان می دهد.
